Urodzony we Lwowie (16 XII 1912). Studiował na Oddziale Elektrotechnicznym Wydziału Mechanicznego Politechniki Lwowskiej i w roku 1935 uzyskał dyplom inżyniera elektryka.
Bezpośrednio po studiach nie dostał pracy we Lwowie i musiał wyjechać do Warszawy. W latach 1936-39 pracował jako konstruktor w Państwowych Zakładach Tele- i Radiotechnicznych w Warszawie.
W latach 1940-41 i 1944-45 był asystentem w Katedrze Radiotechniki w LPI (Lwowskij Politechnicznyj Instytut).
W dniach od 28 X do 4 XI 1945 r. “przeniósł się”, wraz z żoną 3-letnią córką i 4-miesięcznym synem, podobnie jak inni pracownicy Politechniki Lwowskiej, w jednym z pociągów ewakuacyjnych, do Gliwic gdzie wziął udział w tworzeniu Politechniki Śląskiej (PŚ), która została powołana w Katowicach z tymczasową siedzibą w Krakowie (dekretem KRN z 24 V 1945). Rektorem został mianowany prof. W. Kuczewski. Utworzono 4 wydziały z 54 katedrami, ponad 14 profesorami i wieloma adiunktami i asystentami z byłej Politechniki Lwowskiej. Na wydziałach: Mechanicznym, Elektrycznym, Inżynieryjno-Budowlanym i Chemicznym dziekanami zostali (odpowiednio) profesorowie: Z. Ciechanowski, K. Idaszewski, A. Plamitzer i A. Joszt. Dnia 5 VI 1945 w Krakowie odbyła się pierwsza inauguracja roku akademickiego Politechniki Śląskiej (PŚ).
Możliwości zorganizowania PŚ w Katowicach, Bytomiu, Zabrzu i Gliwicach badał Specjalny Zespół pod kierownictwem Tadeusza Niżankowskiego. Zespół ten stwierdził, że tylko w Gliwicach są możliwości stworzenia Politechniki.
Pod koniec września i w październiku 1945 r. zaczęła się przeprowadzka PŚ z Krakowa do Gliwic. Tymczasem w Gliwicach brakowało lokali, nie było żadnej aparatury laboratoryjnej, nie było biblioteki. Biblioteka Politechniki Lwowskiej została we Lwowie. Trzeba było wszystko organizować od zera. Pierwsi studenci (2.450 osób) PŚ rozpoczęli zajęcia w Gliwicach, a T. Zagajewski rozpoczął pracę w Katedrze Telekomunikacji organizowanej pod kierownictwem prof. Tadeusza Malarskiego.
Rozprawę doktorską — przygotowaną jeszcze we Lwowie pod opieką prof. Janusza Groszkowskiego — obronił w Politechnice Warszawskiej w 1946 r.
W Politechnice Śląskiej był kolejno adiunktem, zastępcą profesora (1947-54), profesorem nadzwyczajnym (od 1954), profesorem zwyczajnym (od 1965). Był kierownikiem Katedry Radiotechniki (1947-54) na Wydziale Elektrycznym przemianowanej (1954) na Katedrę Elektroniki Przemysłowej której też był kierownikiem (1954-64), dziekanem Wydziału Elektrycznego (1955-56), prorektorem ds. nauki (1956-59).
Był jednym z inicjatorów powstania samodzielnego Wydziału Automatyki. W latach 1962-1964 brał aktywny udział przy organizowaniu tego Wydziału, powołanego przez ministra Szkolnictwa Wyższego w roku 1964.
Po utworzeniu Wydziału Automatyki, został jego pierwszym dziekanem (1964-68) i kierownikiem Katedry Elektroniki Przemysłowej (1964-68), z którą przeniósł się z Wydziału Elektrycznego. Następnie, w latach (1968-71) był kierownikiem Katedry Elektroniki, a w latach (1971-74) — zastepcą ds. Nauki Dyrektora Instytutu Konstrukcji i Technologii Urządzeń Automatyki i Elektroniki oraz dyrektorem Instytutu Elektroniki (1974-83).
Został członkiem korespondentem (1960) i członkiem rzeczywistym (1976) Polskiej Akademii Nauk (PAN). Organizował Oddział PAN w Katowicach i był zastępcą przewodniczącego i przewodniczącym tego Oddziału (1983-86).
Był promotorem 15 rozpraw doktorskich i opiekunem ponad 200 magisterskich prac dyplomowych. Kilku jego wychowanków zostało docentami i profesorami.
W roku 1988 przeszedł na emeryturę ale nie przerwał pracy naukowej. Nadal zajmował się zagadnieniami nieliniowego sprzężenia zwrotnego wzmacniaczy elektronicznych i stabilizacją częstotliwości generatorów.
W roku 1992 otrzymał tytuł doktora honoris causa Politechniki Śląskiej.
Był członkiem założycielem PTETiS (1961), prezesem PTETiS (1972-75). W roku 1980 został wybrany członkiem honorowym PTETiS ( nr 18 ).
Otrzymał odznaczenia państwowe: Złoty Krzyż Zasługi oraz Medal X-lecia PRL (1955), Krzyż Kawalerski
Orderu Odrodzenia Polski (1959), Medal Komisji Edukacji Narodowej (1974), Krzyż Komandorski OOP (1986) i Krzyż Komandorski
z Gwiazdą OOP (1995). W roku 2002 otrzymał Medal SEP im. prof. Stanisława Fryze.
Zmarł dnia 28 września 2010 roku.